Antwoord op: Hollen door het Huis

Je zult wel gemerkt hebben dat je, hoe je ook wandelt, altijd minstens één deur overhoudt! Het is namelijk onmogelijk om een wandeling te maken door de kamers, waarbij je precies één keer door elk van de zestien deuren loopt. We kunnen dit als volgt bewijzen.

Beschouw de buitenwereld voor het gemak ook als een kamer. Dan zijn er zes kamers. Stel nu dat er een wandeling is waarbij je elke deur precies één keer passeert.

Je gaat de kamer waar je start uit. De volgende kamer ga je in en uit. De volgende kamer ga je weer in en uit, enzovoorts. De laatste kamer ga je in.

Bekijk nu het aantal keer dat je een kamer in en uit gaat. De kamers waar je niet start en niet eindigt, ga je precies even vaak in als uit. Die kamers moeten dus een even aantal deuren hebben.

Als de kamer waar je start dezelfde is als die waar je eindigt, dan ga je ook die kamer precies even vaak in als uit, en moet die kamer dus ook een even aantal deuren hebben.

Als de kamers waar je start en eindigt niet dezelfde zijn, dan ga je de kamer waar je start één keer vaker uit dan in, en de kamer waar je eindigt één keer vaker in dan uit. Deze twee kamers moeten dan een oneven aantal deuren hebben.

Als er dus een wandeling bestaat waarbij je elke deur precies één keer passeert, dan zijn er dus twee mogelijkheden:

• Alle kamers hebben een even aantal deuren.
• Precies twee kamers hebben een oneven aantal deuren.

Er zijn echter vier kamers met een oneven aantal deuren (drie kamers van het huis, en de buitenwereld die we ook als kamer beschouwen). Conclusie: er is geen wandeling mogelijk waarbij je elke deur precies één keer passeert.

Pas als we ervoor zorgen dat slechts twee kamers een oneven aantal deuren hebben, door bijvoorbeeld een deur toe te voegen, is een volledige wandeling door het huis mogelijk. In onderstaande tekening hebben alleen één kamer van het huis en de buitenwereld een oneven aantal deuren:

Als we ervoor zorgen alle kamers een even aantal deuren hebben, door bijvoorbeeld nog een deur toe te voegen, is een volledige rondwandeling mogelijk (omdat de wandeling dan begint en eindigt in dezelfde kamer):

Terug naar de puzzel