Lösung: Leiter in der Gasse

Definiere die folgenden Variablen (siehe die untenstehende Abbildung):

• x ist die Höhe, in der die 2 Meter lange Leiter die Wand der Gasse berührt;
• y ist die Höhe, in der die 3 Meter lange Leiter die Wand der Gasse berührt;
• a ist der horizontale Abstand zwischen dem Punkt, an dem sich die Leitern kreuzen, und der Wand, an der die 2 Meter lange Leiter steht;
• b ist der horizontale Abstand zwischen dem Punkt, an dem sich die Leitern kreuzen, und der Wand, an der die 3 Meter lange Leiter steht;
• w ist die Breite der Gasse (gleich a + b);
• h ist die Höhe, in der sich die Leitern kreuzen (1 Meter).

Aufgrund der Ähnlichkeit der Dreiecke gilt:

x / w = h / b

und

y / w = h / a

daher

b = (w × h) / x

und

a = (w × h) / y.

Kombiniert mit

a + b = w

ergibt dies

(w × h) / y + (w × h) / x = w

woraus folgt, dass

h × x + h × y = x × y

auf dessen Grundlage wir schließen, dass

y = (h × x) / (x - h).

Aufgrund des Satzes von Pythagoras gilt:

w = √(3² - y²) = √(9 - y²)

und

w = √(2² - x²) = √(4 - x²).

Das Kombinieren dieser beiden Gleichungen ergibt:

9 - y² = 4 - x²

also

y² - x² = 5.

Kombiniert mit

y = (h × x) / (x - h)

und h = 1 ergibt dies Folgendes:

(x / (x - 1))² - x² = 5.

Das Lösen dieser Gleichung ergibt folgendes Ergebnis:

x = ½ + (√c + √((24 × √2 / √c) - c - 14)) / (2 × √2)

wobei

c = 2 × (d + (25 / d) - 7) / 3

und

d = (395 + 60 × √39)^1/3.

Und da w = √(4 - x²), finden wir, dass die Breite der Gasse 1,231185724... Meter beträgt.

Es ist interessant zu bemerken, dass es Kombinationen gibt, bei denen nicht nur die Längen der Leitern und die Höhe, in der sich die Leitern kreuzen, ganze Zahlen sind, sondern auch die Breite der Gasse eine ganze Zahl ist. Die Kombination mit den kleinsten Werten, für die dies der Fall ist, ist die folgende:

• kurze Leiter: 70,
• lange Leiter: 119,
• Höhe, in der sich die Leitern kreuzen: 30,
• Breite der Gasse: 56.

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